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| Ciencias Formales: se explicita la distinción entre ciencias formales y fácticas, se distingue como caso particular la geometría como ciencia formal (con teoremas) de la geometría del espacio o geometría física como ciencia fáctica (con mediciones en el terreno). Se estudian los elementos empleados en los sistemas axiomáticos y los métodos deductivos utilizados para justificar los teoremas a partir de los axiomas (no es necesario desarrollar con demasiado detalle los métodos deductivos de la lógica, pero se deben introducir algunas [[reglas de inferencia]] para mostrar los métodos típicos de estas ciencias) en particular se mostrarán ejemplos sencillos de la demostración por el absurdo. Como caso de interés para este método se estudia el caso histórico del [[quinto postulado de Euclides]], que da lugar al [[surgimiento de las geometrías no euclideanas]]. Se estudian las características de completitud, consistencia e independencia de los sistemas axiomáticos y se ilustra con diferentes sistemas interpretados como [[reglas de juego]]. Axiomatización e interpretación: se presentan estas dos operaciones como la interacción entre las ciencias fácticas y las formales (por ejemplo la representación en ecuaciones de un problema de física de caída libre, el cálculo de los resultados y la posterior interpretación de los resultados, respectivamente). Se explicita también la relación entre sistemas axiomáticos completos, consistentes e independientes con los casos de interpretación como sistemas jurídicos, programas de computación y reglas de algún juego de mesa. Es importante mostrar que el crecimiento de un sistema jurídico implica acrecentar el sistema de axiomas (que corresponde en caso de imaginarlo axiomatizado) y que tal crecimiento conlleva el riesgo de resultar en un sistema inconsistente si no se derogan con anterioridad las leyes que puedan entrar en conflicto con las nuevas normativas. Se analizan las consecuencias de tener un sistema jurídico incompleto, los de un sistema inconsistente y los de uno dependiente.
| | === Conocimientos previos === |
| Del mismo modo se puede mostrar que el desarrollo de un programa (software) con módulos incompatibles o incompletos lleva a la falla de sistema e incapacidad de operación del hardware.
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| Surgimiento de la geometría física en el antiguo Egipto. Se estudian los primeros métodos de la geometría física asociados con la medición de los terrenos y se muestra la organización teórica bajo un método deductivo realizada por Euclides en el plano de la geometría formal. Se relaciona esta organización con lo que se entendía como método adecuado para la organización del conocimiento: el método deductivo, según el cual todo conocimiento de debe obtener por deducción a partir de enunciados autoevidentes (de allí la importancia de los silogismos en la lógica aristotélica y otras surgidas en la época y discutidas durante siglos).
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| Esta unidad está pensada para el estudio de los métodos de las ciencias formales, pero resaltando su conexión y distinción con las ciencias fácticas. El núcleo temático no ha sido introducido en el diagrama por servir de caso de contraste con el resto de las discusiones. Por ejemplo no se aplican a las ciencias formales las consideraciones sobre el avance de los instrumentos de medición, pero sí se le aplican las del avance en los métodos de cálculo, heurísticas computacionales para la búsqueda de demostraciones, etc.
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| === Contenidos ===
| | Se detallan los conocimientos previos para las dos temáticas principales: Sistemas axiomáticos y Lógica. |
| Distinción [[ciencias formales y ciencias fácticas]]. [[Sistemas axiomáticos]]. [[Elementos de los sistemas axiomáticos|Primitivos, fórmulas bien formadas, axiomas, teoremas]]. [[Noción de "verdad" en ciencias formales]]. [[Características de los sistemas axiomáticos|Completitud, consistencia e independencia de los sistemas]]. [[Axiomatización e interpretación]]. [[Modelos de un sistema axiomático]]. [[Razonamientos válidos y no válidos]]. [[Falacias]]. [[Método indirecto]].
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| === Recomendaciones === | | |
| El abordaje de sistemas axiomáticos particulares se ve facilitado por la noción de regla de juego. La confección de juegos cuyas reglas conformen un sistema completo consistente e independiente de las acciones que puedan realizarse en él, es un ejercicio adecuado para la comprensión de los conceptos de ciencias formales. Así, el uso de modelos, entendidos como casos empíricos que instancian la axiomática del sistema, es la plataforma concreta para la elaboración de conceptos abstractos. El segundo ejercicio es la búsqueda de un segundo modelo que cumpla con la misma axiomática. Esto favorece la identificación de la estructura abstracta y su diferencia de cada uno de los modelos que la cumplen.
| | ====Sistemas axiomáticos==== |
| En cuanto al tema de las geometrías no euclideanas se sugiere el uso de maquetas de superficies curvas que pueden aproximarse por superficies planas y en las que la suma de los ángulos interiores de un triángulo no es 180°, por ejemplo las superficies con curvatura positiva (esféricas convexas: exterior de una cuchara) y negativa (silla de montar o superficies cóncavas como el interior de una cuchara). Esto permite visualizar la diferencia entre modelos bidimensionales que cumplen la axiomática euclídea de los que no la cumplen. | | |
| Se sugiere también analizar teoremas sencillos como el de Tales o el de Pitágoras y comparar sus demostraciones con la constatación de que sus afirmaciones se cumplen en el mundo empírico para un cierto grado de precisión. Así se distinguen dos tareas diferentes según se trate de afirmaciones de las ciencias formales o de las ciencias fácticas. | | Contamos con las nociones de recta, punto, plano y rectas paralelas. |
| Respecto de los métodos deductivos se sugiere que los alumnos analicen diferentes esquemas para poder distinguir los razonamientos válidos de los no válidos y que puedan identificar con destreza los razonamientos falaces. Este tipo de destreza puede ser profundizada con el uso de juegos sencillos como el sudoku (cuadrado mágico) o equivalentes (sokoban y otros en juegos de PC) que se resuelven por inferencias válidas. Estas capacidades son propias del pensamiento formal y su estímulo genera una mejor capacidad de análisis en el resto de los temas.
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| | ====Lógica==== |
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| | Contamos con la noción intuitiva de razonamiento y verdad. Suponemos que han tenido una comprensión inicial de puesta a prueba de las teorías, y que pueden distinguir las nociones de consecuencia, corroboración, refutación. |
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| | [[Archivo:Conocimientos previos.jpg]] |
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| | ===La geometría euclideana y los sistemas axiomáticos=== |
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| | ====Geometrias euclideanas==== |
| | En esta unidad abordamos el estudio de [[las ciencias formales]] con la modalidad de estudio de un caso histórico. |
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| | Las ciencias formales organizan el conocimiento estructurándolo en torno a sistemas axiomáticos. Esta tradición que echa mano de métodos de razonamiento deductivos se remonta a los comienzos de la ciencia en la antigüedad. La ciencia aristotélica en ocasiones utilizaba esta metodología. |
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| | Los ''Elementos'' (de geometría) de Euclides es un caso paradigmático en el que se exhibe el conocimiento en una estructura de axiomas y teoremas. Este tratado describe la teoría de la geometría euclideana que podemos llamar hoy geometría plana. |
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| | ====Sistemas axiomáticos==== |
| | =====[[Sistemas axiomáticos: diálogos|Una conversación informal sobre ciencias formales]]===== |
| | En este bloque abordamos la noción de [[Sistemas axiomáticos: diálogos|sistema axiomático]] con una modalidad de diálogos. Se revisan también los componentes de un sistema axiomático y sus características. |
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| | En otras secciones podremos ver las relaciones que podemos establecer entre los sistemas axiomáticos y los juegos, el sistema jurídico, el software y otras aplicaciones: |
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| | [[Sistemas axiomáticos#Sistemas axiomáticos y juegos|Sistemas axiomáticos y juegos]] |
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| | ==== [[Lógica]] ==== |
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| | En este apartado nos ocupamos de los temas de [[Lógica|lógica]] relevantes para la puesta a prueba de las teorías y el modo en que se pueden realizar inferencias. |
| | Uno de los aspectos importantes para la filosofía de la ciencia es poder decidir para cada razonamiento qué grado de respaldo obtenemos para asegurar o decidir sobre la verdad de la conclusión de ese razonamiento. |
| | Este aspecto y varios otros son abarcados por la lógica. |
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| | === Propuestas de análisis === |
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| | === Actividades === |
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| | === Orientación bibliográfica === |
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| | === Orientación pedagógica === |
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| | === Temas Complementarios === |
Conocimientos previos
Se detallan los conocimientos previos para las dos temáticas principales: Sistemas axiomáticos y Lógica.
Sistemas axiomáticos
Contamos con las nociones de recta, punto, plano y rectas paralelas.
Lógica
Contamos con la noción intuitiva de razonamiento y verdad. Suponemos que han tenido una comprensión inicial de puesta a prueba de las teorías, y que pueden distinguir las nociones de consecuencia, corroboración, refutación.
La geometría euclideana y los sistemas axiomáticos
Geometrias euclideanas
En esta unidad abordamos el estudio de las ciencias formales con la modalidad de estudio de un caso histórico.
Las ciencias formales organizan el conocimiento estructurándolo en torno a sistemas axiomáticos. Esta tradición que echa mano de métodos de razonamiento deductivos se remonta a los comienzos de la ciencia en la antigüedad. La ciencia aristotélica en ocasiones utilizaba esta metodología.
Los Elementos (de geometría) de Euclides es un caso paradigmático en el que se exhibe el conocimiento en una estructura de axiomas y teoremas. Este tratado describe la teoría de la geometría euclideana que podemos llamar hoy geometría plana.
Sistemas axiomáticos
En este bloque abordamos la noción de sistema axiomático con una modalidad de diálogos. Se revisan también los componentes de un sistema axiomático y sus características.
En otras secciones podremos ver las relaciones que podemos establecer entre los sistemas axiomáticos y los juegos, el sistema jurídico, el software y otras aplicaciones:
Sistemas axiomáticos y juegos
En este apartado nos ocupamos de los temas de lógica relevantes para la puesta a prueba de las teorías y el modo en que se pueden realizar inferencias.
Uno de los aspectos importantes para la filosofía de la ciencia es poder decidir para cada razonamiento qué grado de respaldo obtenemos para asegurar o decidir sobre la verdad de la conclusión de ese razonamiento.
Este aspecto y varios otros son abarcados por la lógica.
Propuestas de análisis
Actividades
Orientación bibliográfica
Orientación pedagógica
Temas Complementarios
